Dlaczego 2350 znaczy coś innego niż 235? Waga cyfry i podstawa systemu
System dwójkowy: dwie cyfry i wagi będące potęgami dwójki
Zamiana liczby dziesiętnej na dwójkową przez dzielenie z resztą
Systemy ósemkowy i szesnastkowy jako krótszy zapis tych samych bitów
Podręcznik: s. 103–105 i s. 235. Dziś bez pisania kodu.
Rozgrzewka · 3 minuty
Co zostało z listy kroków?
Czym jest algorytm i z czego się składa?
Co zapisujemy w specyfikacji problemu, zanim ułożymy listę kroków?
Po co symulujemy algorytm na kartce zamiast od razu pisać program?
Część 1 · System pozycyjny
Cyfra znaczy tyle, ile jej miejsce
Na co dzień posługujemy się systemem dziesiętnym, nazywanym też decymalnym. Ma dziesięć cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Zapis 2350 oznacza liczbę dziesięć razy większą od 235, bo to system pozycyjny: z miejscem cyfry, liczonym od prawej strony, wiąże się jej waga. Wagi to kolejne potęgi liczby 10, a 10 jest podstawą systemu liczbowego. To jak cyfry w numerze domu i numerze mieszkania: ta sama cyfra na innym miejscu znaczy co innego.
Podręcznik Informatyka na czasie 2, s. 103 (7.1 Liczby dziesiętne i dwójkowe, rys. 7.1 Zapis dziesiętny liczby 235, ramka „Warto wiedzieć” o wadze)
Część 1 · System dwójkowy
Ta sama liczba, dwie cyfry
W technice komputerowej szczególne znaczenie ma system dwójkowy, nazywany też binarnym. Ma tylko dwie cyfry: 0 i 1. Zasada jest ta sama co w dziesiętnym, zmienia się podstawa: wagi kolejnych miejsc to potęgi liczby 2, czyli 1, 2, 4, 8, 16 i dalej. Liczba 235 jest sumą wag 128, 64, 32, 8, 2 i 1, więc w zapisie dwójkowym jest liczbą ośmiocyfrową.
Podręcznik Informatyka na czasie 2, s. 104 (7.1 Liczby dziesiętne i dwójkowe, rys. 7.2 Zapis dwójkowy liczby 235, ramka „Zapamiętaj” ze s. 105)
Część 1 · Liczby od 0 do 15
Szesnaście liczb w zapisie dwójkowym
Liczb dwójkowych nie nazywajcie tak jak dziesiętnych. Zapis 1010 w systemie dziesiętnym czytamy „tysiąc dziesięć”, ale w dwójkowym czytamy go „jeden zero jeden zero”.
Podręcznik Informatyka na czasie 2, s. 104 (7.1 Liczby dziesiętne i dwójkowe, tabela 7.1 Zapis binarny liczb od 0 do 15, ramka „Dobra rada”)
Część 1 · Własności
Cztery rzeczy widać gołym okiem
Liczby nieparzyste w zapisie binarnym kończą się cyfrą 1.
Liczby binarne kończące się cyfrą 0 dzielą się przez 2, czyli są parzyste.
Dopisanie 0 na końcu daje liczbę dwa razy większą, a usunięcie ostatniej cyfry z liczby parzystej daje jej połowę.
Liczba parzysta i o jeden większa nieparzysta różnią się tylko ostatnią cyfrą: 12 to 1100, a 13 to 1101.
Ciekawostka. Zapis dwójkowy jest starszy od komputerów. Matematyk Gottfried Wilhelm Leibniz opisał go w 1703 roku w pracy „Explication de l'Arithmétique Binaire”, czyli w wyjaśnieniu arytmetyki opartej na samych znakach 1 i 0.
Podręcznik Informatyka na czasie 2, s. 104 (7.1 Liczby dziesiętne i dwójkowe, „Podstawowe własności liczb binarnych”) · ciekawostka: en.wikipedia.org/wiki/Binary_number
Część 2 · Zamiana liczby
Dzielimy przez 2 i zapisujemy reszty
Liczbę dziesiętną zamieniamy na inny system, dzieląc ją wielokrotnie przez podstawę tego systemu i zapisując resztę z każdego dzielenia. Dzielimy tak długo, aż wynik dzielenia wyniesie 0. Wynik czytamy z kolumny reszt, od dołu do góry.
Podręcznik Informatyka na czasie 2, s. 235 (dodatek 14 Systemy liczbowe, tabela „Zamiana zapisu liczby z systemu dziesiętnego na dwójkowy”, przykład dla liczby 150)
Część 3 · Inne systemy
Osiem cyfr, szesnaście cyfr
W informatyce używa się też systemu ósemkowego, który ma osiem cyfr od 0 do 7, oraz systemu szesnastkowego, który ma ich aż szesnaście: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Sześć ostatnich cyfr zapisuje się literami, bo zwykłe cyfry się skończyły: litera A oznacza 10, a litera F oznacza 15. Podstawy obu systemów są potęgami dwójki, więc każdą cyfrę ósemkową zapiszecie trzema bitami, a każdą cyfrę szesnastkową czterema.
Podręcznik Informatyka na czasie 2, s. 105 (7.1 Liczby dziesiętne i dwójkowe, „Inne systemy liczbowe”, rys. 7.3 Zamiana zapisu liczby pomiędzy systemami dwójkowym, ósemkowym i szesnastkowym)
Część 3 · Dzielenie przez 16
Ta sama metoda, inna podstawa
Na system szesnastkowy zamieniamy tak samo, tylko dzielimy przez 16. Reszty od 10 do 15 zapisujemy literami od A do F.
Dzielna
Podstawa
Wynik dzielenia
Reszta
Cyfra szesnastkowa
19374
16
1210
14
E
1210
16
75
10
A
75
16
4
11
B
4
16
0
4
4
Czytamy reszty od dołu do góry, więc 19374 to
4BAE
Dobra rada. Przy kilku systemach naraz dopisujcie podstawę w indeksie dolnym: 10010 = 11001002, a 1002 = 410.
Podręcznik Informatyka na czasie 2, s. 235 (dodatek 14 Systemy liczbowe, tabela „Zamiana zapisu liczby z systemu dziesiętnego na szesnastkowy”, przykład dla liczby 19374) i s. 105 (ramka „Dobra rada”) · podręcznik podaje od razu cyfrę szesnastkową
Ćwiczenie · na kartce · 10 minut
Ćwiczenie: trzy liczby w dwie strony
Podpisz kartkę. Zamień na dwójkowy liczby 19, 45 i 203: dla każdej tabela dzieleń, wynik od dołu do góry.
Sprawdź każdy wynik: podpisz pod cyframi wagi i dodaj te, nad którymi stoi 1.
Zamień 203 na szesnastkowy, dzieląc przez 16. Reszty od 10 do 15 zapisz literami. Podziel też zapis dwójkowy liczby 203 na czwórki cyfr od prawej i porównaj.
Dzielna : Podstawa = Wynik | Reszta
19 : 2 = |
: 2 = |
Wynik od dolu do gory: ......
128 64 32 16 8 4 2 1
__ __ __ __ __ __ __ __ total = ......
Kto skończy wcześniej: jaką największą liczbę zapiszecie ośmioma cyframi dwójkowymi?
Dla chętnych (dom): ta sama tabela dla trzech własnych liczb zamienionych na szesnastkowy.
Podręcznik Informatyka na czasie 2, s. 105 (ćwiczenie 1) i s. 235 (dodatek 14, wzór tabeli dzieleń)
Podsumowanie · Pytania kontrolne
Trzy pytania na koniec
Co to znaczy, że system dziesiętny i dwójkowy są pozycyjne, i co w nich robi waga cyfry?
Dlaczego przy zamianie liczby dziesiętnej na dwójkową czytamy reszty od dołu do góry, a nie od góry do dołu?
Skąd wiadomo, że jedna cyfra szesnastkowa zastępuje dokładnie cztery cyfry dwójkowe?
Podręcznik Informatyka na czasie 2, s. 103–105 (7.1 Liczby dziesiętne i dwójkowe) i s. 235 (dodatek 14 Systemy liczbowe)
Podsumowanie · Praktyka
A jak to wygląda w produkcji?
Na lekcji
W produkcji
Status
Zapis szesnastkowy
Kolor na stronie WWW podaje się szesnastkowo w zapisie #RRGGBB: po dwie cyfry na czerwony, zielony i niebieski. Doszedł zapis ośmiocyfrowy #RRGGBBAA, w którym ostatnia para ustawia przezroczystość.
rozszerzane
Liczba zapisana bitami
Adres MAC (ang. Media Access Control), czyli fizyczny numer karty sieciowej, ma 48 bitów i zapisuje się go jako sześć par cyfr szesnastkowych, na przykład 01-23-45-67-89-AB.
nadal w użyciu
System ósemkowy
Uprawnienia plików w systemach z rodziny Unix zapisuje się liczbą ósemkową, bo jedna cyfra ósemkowa to dokładnie trzy bity uprawnień: odczyt 4, zapis 2, wykonanie 1.
nadal w użyciu
Zamiana ręczna na kartce
W pracy nikt nie dzieli przez 2 na kartce: jest tryb programisty w kalkulatorze i gotowa funkcja w każdym języku. Ręcznie liczy się po to, żeby wiedzieć, co ta funkcja robi.